Soluzione, considerazioni e approfondimenti suggeriti sul quesito posto da Paolo Alessandrini nella rubrica Möbius pubblicata su Coelum 179 di marzo

Il nastro dentro il nastro

In una rubrica di matematica ricreativa intitolata “Möbius”, era prevedibile che prima o poi si finisse a discutere del celebre nastro dotato di una sola faccia e di un solo bordo.

Il nastro di Möbius deve il suo nome ad August Ferdinand Möbius, matematico e astronomo tedesco nato nel 1790. Appassionato di matematica, fisica e astronomia fin da ragazzo, nel 1813 August Ferdinand andò a studiare nella prestigiosa università di Gottinga, dove ebbe il grande Carl Friedrich Gauss come insegnante. Solo tre anni Möbius dopo divenne professore di astronomia e meccanica superiore a Lipsia, dove rimase fino alla morte, avvenuta nel 1868.

Il suo contributo alla matematica è molto notevole, e spazia tra la topologia, la geometria proiettiva e la teoria dei numeri. Pare che abbia affrontato il problema della colorazione delle carte geografiche prima di Francis Guthrie, che di solito viene considerato come il pioniere in questo campo. D’altra parte, il famoso anello di Möbius non è stato descritto per la prima volta da Möbius ma da un altro matematico, Johann Benedict Listing, anche lui allievo di Gauss a Gottinga.

Costruire un nastro di Möbius è semplicissimo: basta prendere una striscia di carta e unirne le estremità dopo aver sottoposto una delle due a un mezzo giro di torsione.

Lo strano oggetto che si ottiene gode di alcune caratteristiche del tutto peculiari. Se si percorre il nastro con un pennarello, partendo da un punto qualsiasi, si scopre di poter percorrere l’intera superficie. L’anello ha quindi una sola faccia! Com’è possibile? Dopo aver percorso un giro attorno al nastro, ci si ritrova dalla parte opposta. Ma parlare di parte opposta è fuori luogo, perché di facce ce n’è una sola. Dopo aver percorso due giri ci ritroviamo al punto di partenza.

E non basta: se si prova a seguire il bordo della striscia con un dito, ci si ritrova, dopo un giro, sul bordo “opposto”. E anche qui si ha un analogo “paradosso”: non ci sono due bordi, ma un bordo unico.

La caratteristica più sorprendente del nastro di Möbius si scopre tagliando la striscia a metà, in senso longitudinale, cioè parallelamente al bordo. Ci si aspetterebbe forse di ottenere due anelli di Möbius separati, mentre ci si ritrova con un unico anello, caratterizzato però da una torsione intera, e quindi da due bordi e due superfici diverse. Con un secondo taglio si ottengono poi due nastri con torsione intera, l’uno intrecciato all’altro.

Se proviamo a tagliare la striscia a un terzo della sua larghezza, è possibile fare due giri: alla fine si ottengono due anelli concatenati, il primo caratterizzato da una torsione intera e grande la metà del secondo, che invece è un vero nastro di Möbius, con mezza torsione.

Queste meravigliose stranezze giustificano l’interesse che questo oggetto geometrico ha suscitato, non solo tra i matematici, ma anche tra gli artisti.

L’incisore olandese Maurits Cornelis Escher ha spesso utilizzato la superficie di Möbius come fonte di ispirazione per le sue opere.

L’anello di Möbius è presente anche in molte opere letterarie e cinematografiche.

Nel 2006 il divulgatore americano Clifford Pickover ha pubblicato un libro intitolato “Il nastro di Möbius” (Apogeo 2006), interamente dedicato a questa superficie geometrica, mostrandone le innumerevoli connessioni con ogni ambito dello scibile umano.

Una curiosità: fin dall’inizio degli anni Settanta il simbolo universale del riciclo è un nastro di Möbius.

L’enigma

E veniamo all’enigma di marzo. Quale connessione astronomica può scaturire dal nastro di Möbius? Come abbiamo visto, il matematico che ha dato il nome alla nostra bizzarra superficie era anche un astronomo. Ma soprattutto, se parliamo di anelli, non vi vengono in mente quelli di Saturno?

Ecco quindi la naturale ambientazione del problema del numero 179. Da un punto di vista geometrico, il sistema di anelli di Saturno assomiglia a una corona circolare, in cui il bordo interno è più corto di quello esterno. Topologicamente, però, la superficie equivale alla superficie laterale di un cilindro, cioè un anello ottenuto a partire da una striscia unendo le estremità senza torsioni.

Se potessimo camminare sull’anello di Saturno, potremmo stare o sulla faccia superiore o su quella superiore, ma per passare da una all’altra dovremmo per forza attraversare uno dei bordi: poco importa che l’anello sia visualizzato com’è in realtà, cioè con un bordo più vicino al pianeta e uno più lontano, oppure come la superficie laterale di un cilindro, in cui c’è una faccia rivolta verso il pianeta e un’altra faccia esposta nel verso opposto.

Ben diversa, invece, diventa la situazione se l’anello viene chiuso effettuando la fatidica mezza torsione di una estremità: si ottiene un mostruoso nastro di Möbius attorno a Saturno, che è possibile percorrere in tutta la sua superficie senza mai attraversare il bordo.

Il citato libro di Clifford Pickover racconta di come sia possibile giocare a scacchi su un nastro di Möbius. Le regole del gioco rimangono invariate, ma occorre fare un po’ più di attenzione, perché diventano possibili alcune mosse a sorpresa: occorre immaginare infatti che uno dei lati della scacchiera sia confinante con il lato opposto, ma in modo speculare.

Pickover rivela le stranezze di un simile modo di giocare a scacchi, e descrive anche la variante (più semplice) della scacchiera ripiegata ad anello ma senza torsione.

Sulle scacchiere e con i pezzi degli scacchi si possono fare partite, ma si possono anche risolvere rompicapi. Uno di questo è famoso come “giro di cavallo”. Su una scacchiera tradizionale 8×8, si tratta di muovere un cavallo partendo da una casella qualsiasi e rispettando le regole del gioco, con l’obiettivo di visitare tutte le caselle della scacchiera, ciascuna una volta sola. Il giro del cavallo può essere chiuso, se, alla fine del suo peregrinare, il quadrupede riesce a tornare alla casella di partenza. Altrimenti il giro viene considerato aperto.

Il problema del giro di cavallo è celebre nel mondo dei rompicapi che possono essere affrontati per via algoritmica, cioè addestrando un programma informatico a risolvere l’enigma. Ad oggi, nessuno sa di preciso quanti diversi giri di cavallo aperti siano possibili su una scacchiera tradizionale.

Si può provare a risolvere il problema anche su scacchiere “esotiche”, ad esempio rettangolari, o anche su scacchiere di Möbius.

L’enigma che ho proposto a marzo consisteva appunto nel trovare un simile percorso su una scacchiera di Möbius di dimensioni 4 x 7, dove il lato corto (di lunghezza 4) è quello che costituisce l’estremità che si torce di mezzo giro e si unisce al lato opposto.

Come ha argutamente osservato Maurizio Carlino, uno dei lettori che hanno saputo risolvere l’enigma di marzo:

(…) una scacchiera di Möbius 4 x 7 mantiene l’alternanza bianco/nero delle caselle: è un dato che non ho usato esplicitamente per risolvere il problema, ma comunque vale per una scacchiera con un numero di colonne dispari. In altri termini, ogni singola mossa cambia colore alla casella di partenza, proprio come avviene in una scacchiera classica.

Come conseguenza, dopo un numero di mosse dispari, un cavallo che si muova su una scacchiera di Möbius di ordine dispari si troverà su una casella di colore opposto di quella da cui è partito, mentre dopo un numero di mosse pari sarà su una casella di colore identico a quello di partenza.

Nel suo libro Clifford Pickover afferma che una scacchiera di Möbius di dimensioni m x n (con m file e n colonne) consente un giro di cavallo se vale almeno una delle seguenti condizioni:

1. m=1 e n>0 oppure n=1 e m=3, 4 o 5
2. m=2 e n pari, oppure m=4 e n dispari
3. n=4 e m=3

Nella nostra scacchiera 4 x 7 abbiamo m=4 e n=7: rientriamo quindi nel caso 2) e il giro di cavallo è possibile.

Le soluzioni dei lettori

L’abbonamento è stato vinto da Luigi Musto, che per primo (tra i lettori che non avevano già vinto un abbonamento in precedenza) ha fornito una soluzione esatta.

Anche Daniele Tosalli e Maurizio Carlino hanno inviato risposte corrette, ma entrambi avevano già vinto l’abbonamento nei mesi passati; pure Michele d’Errico ha risolto l’enigma, ma non in tempo per ottenere l’ambito premio.

Musto e Tosalli hanno inviato la stessa soluzione, che è illustrata nella figura seguente (anche la soluzione trovata da D’Errico è del tutto analoga).

Carlino, invece, ha risolto il problema servendosi di un programma in linguaggio C da lui stesso sviluppato (e pubblicato all’indirizzo https://ideone.com/cPsmtm), che calcola tutti i possibili giri di cavallo su una scacchiera di dimensione m x n (con m e n non maggiori di 8) a partire da una qualsiasi posizione della scacchiera, sia essa di tipo Möbius o no.

L’algoritmo di Carlino (che ringrazio per aver inviato anche una descrizione in “pseucodice”) è basato sulla tecnica del “backtracking”, cioè tenta di individuare le soluzioni del problema esplorando tutte le mosse raggiungibili da una certa configurazione e tornando sui propri passi nel caso incontri ostacoli insormontabili. L’approccio sfrutta il meccanismo della ricorsione, ben noto agli informatici. La complessità dell’algoritmo di Carlino è esponenziale, il che significa che il tempo di calcolo aumenta molto rapidamente al crescere della scacchiera, fino a diventare inservibile sopra una certa soglia di dimensioni.

Una delle soluzioni trovate da Carlino è la seguente.

Il programma di Carlino ha trovato ben 13.209.800 diverse soluzioni. Modificando l’algoritmo per farlo funzionare su una scacchiera 4 x 7 non di Möbius, le soluzioni sono solo 1.682: dato che una scacchiera classica è un caso particolare della scacchiera di Möbius, queste 1.682 soluzioni sono incluse in quelle precedenti.

Come osserva Carlino, il numero di soluzioni “classiche” molto basso rispetto a quelle möbiussiane si spiega considerando il fatto che, nella maggior parte delle posizioni su una scacchiera classica, le possibili successive mosse di un cavallo sono meno numerose di quelle che può compiere su una scacchiera di Möbius.

Riporto infine un’altra interessante osservazione di Carlino:

Per indagare le proprietà di una scacchiera di Möbius ho provato a individuare almeno una soluzione diversa per ogni possibile posizione di partenza. Ho così scoperto che il programma da me elaborato non è in grado di trovare una soluzione se il cavallo parte dalla seconda o dalla terza riga (posizioni bj e cj con j=1..7) sia nel caso di una scacchiera di Möbius che nel caso classico.

Al momento non so dire se si tratta di un’imperfezione del programma o di una caratteristica intrinseca del problema.

Riporto nel seguito una tabella che riassume il numero di soluzioni trovate con il mio algoritmo per ogni posizione di partenza, per una scacchiera di Möbius 4 x 7 e per quella classica. Mi propongo di continuare a studiare il problema variando le dimensioni della scacchiera e cercando di approfondire la questione sulle posizioni di partenza che sembrano non garantire una soluzione.

Come si vede il numero di soluzioni nel caso di una scacchiera di Möbius è lo stesso a prescindere dalla posizione iniziale, nel caso delle righe 1 e 4 (aj e dj con j=1..7): la situazione è diversa nel caso della scacchiera classica, fermo restando la condizione di simmetria.

La questione posta da Carlino sulle posizioni iniziali “sfortunate” sembra molto interessante: cercherò anch’io di studiarla per capire se si tratti di una caratteristica intrinseca e generale di questo tipo di problema.
In conclusione, complimenti a tutti i lettori che si sono cimentati con il problema e in particolare con chi ha inviato la soluzione esatta. Al prossimo enigma!