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Fermata d’autobus

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“Cnque centesimi a chilometro”. Lo abbiamo detto e ripetuto, ma ci sembra un vero prezzo da ladri, su scala spaziale, no? Di fatto, è più o meno quanto costa un viaggio in autostrada: venti chilometri per Euro… beh, quasi. Con gli attuali costi dei carburanti, ci vuole una macchina che consumi davvero poco, per restare nel budget. Ma ciò non toglie che che sia un prezzo da paperoni, su scala planetaria. Non parliamo poi di scala stellare:una scampagnata a Proxima Centauri (4,22 anni luce) ci costerebbe già duemila miliardi di euro. Non sappiamo neppure se esistono, duemila miliardi di Euro, noi.

Bene, però sul calcolo dei costi dei biglietti vi siete scatenati, e questo ci fa piacere. Il calcolo non era impossibile, e per entrare subito in tema cominciamo col raccontarvi come lo ha affrontato Alessandro Canali:


A___________B______C_________D___E

AB = 24000 Km

C stazione spaziale di posta

DE = 5000 Km

E museo

Il razzo più lento impiega 0.25 ore in più rispetto a quello veloce a percorrere il tratto CE (dalla stazione di posta al museo) allora:

v(veicolo lento) = 5000 Km / 0.25 h = 20000 Km/h
quindi

BC = v(veicolo lento) * 0.5 = 20000Km/h * 0.5 h = 10000 Km

AC = AB + BC = 24000 + 10000 = 34000 Km

Il tempo impiegato dal razzo lento a percorrere AC è:

34000 / 20000 = 1.7 h

Il tempo impiegato dal razzo veloce è 1.7 h – 0.5 h = 1.2 h.

Quindi la velocità del razzo veloce è

34000 Km / 1.2 h = 28333.33 Km/h

CE = v(razzo veloce) * t

CE = v(razzo lento) * ( t + 0.25 h )
quindi

v(razzo veloce) * t = v(razzo lento) * ( t + 0.25 h )

28333.33 Km/h * t = 20000 Km/h * ( t + 0.25 h )

t = 0.6 h ( tempo impiegato dal razzo veloce a percorrere il tratto CD )

CE = v (razzo veloce) * t = 28333.33 Km/h * 0.6 h = 17000 Km

L’intero percorso AE = AC + CE = 34000 + 17000 = 51000 Km

A 5 centesimi a Km il costo del biglietto risulta di 2550 euro.

Messa così, ha tutto l’aspetto di un esercizio di fisica, vero? Ciò non di meno, non è certo semplice metterla in maniera diversa. A ben vedere, una piccola differenza la ha trovata Damiano Della Grotta, che ci propone questa soluzione:


“ Dunque,chiamiamo i due razzi “Lento” e “Veloce”. E chiamiamo “Tratto 1” quello che va dalla Terra alla Stazione Spaziale di Posta e “Tratto 2” quello che va dalla Stazione di Posta fino al Museo. Sappiamo che se i due razzi arrivano contemporaneamente alla Stazione di Posta, Lento arriva al Museo un quarto d’ora prima di Veloce.

Considerando la mezz’ora di pausa di Veloce, capiamo che Lento necessita di un quarto d’ora in più, rispetto a Veloce, per percorrere il Tratto 2. E sappiamo anche che se i due razzi partono contemporaneamente dalla Stazione, quando Veloce arriva al Museo, a Lento mancano ancora 5.000 km. Quindi, la velocità di Lento corrisponde a 5.000km/0,25h. Cioè 20.000 km/h.

Sappiamo che mentre Veloce percorre il Tratto 1, Lento percorre 24.000km.

24.000km / (20.000km/h) = 1,2 ore.
Questo è il tempo impiegato da Veloce per coprire il Tratto 1.

Dopo che Veloce si è rilassato una mezz’ora nei pressi della Stazione di Posta, Lento lo raggiunge alla Stazione. Alla sua velocità, in mezz’ora Lento copre 10.000 km. Quindi la lunghezza del Tratto 1 è 24.000+10.000 km = 34.000 km e la Stazione di Posta non è troppo lontana dal percorrere un’orbita geosincrona…

Possiamo ricavare la velocità di Veloce:

v=s/t = 34.000km/1,2h = 28.333,3 km/h.

Ora, 28.333,3/20.000 = 1,417. Questo è il rapporto (vicinissimo al valore della radice di 2) delle due velocità e, a parità di tempo, questo è anche il rapporto degli spazi percorsi dai due razzi. Quindi, nello stesso intervallo di tempo, il tragitto percorso da Lento è 1/1,417 volte quello percorso da Veloce. E il tragitto che ancora resta a Lento per raggiungere Veloce è 0,417/1,417 del percorso totale considerato.

Quindi i 5.000 km che deve percorrere Lento per raggiungere Veloce al Museo sono i 0,417/1,417 (cioè 0,29 parti su uno) del Tratto 2.

Allora 5.000 : 0,29 = Tratto 2 : 1.

Il Tratto 2 è lungo 17.241,4 km.

Infatti Veloce percorre questo tragitto in 0,6 h e nello stesso intervallo di tempo Lento percorre 12.241,4 km, cioè proprio 5.000 km in meno…e tutto sembra quadrare…

Percorso totale = Tratto 1 + Tratto 2 = 34.000 km + 17.241,4 = 51.241,4 km.

A noi sembra particolarmente meritevole d’attenzione il modo con il quale Damiano ha deciso di affrontare il calcolo dei chilometri, utilizzando il rapporto delle velocità come rapporto degli spazi. Alla fine, comunque, arriva a valutare un percorso di circa 241 chilometri superiore a quello degli altri solutori. Vi è un errore? E se sì, e un errore di arrotondamento o di altra natura?

Cia ha fatto molto piacere ricevere anche la lettera di una nostra vecchia conoscenza, Daniela Savoini, che è anch’essa arrivata alla conclusione che ci vuole la bellezza di 2500 euro per permettersi il viaggio. Il suo metodo risolutivo non è diverso da quello già visto nel caso di Alessandro.

Del resto, anche il vincitore di questo mese, Marco Pietro Zambelli non utilizza un approccio troppo diverso: e guadagna il premio anche per la rapidità nell’inviare la soluzione.

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