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La Porta sull’Estate

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Forse tutto dipende dal fatto che, così come era posto il problema, uno aveva almeno il 50% di probabilità di azzeccarci, anche andando assolutamente a caso. La domanda era in fondo una semplice “Cambiate porta o no?”, e una delle due opzioni era certamente giusta. Forse per questo, una volta tanto, le soluzioni ricevute sono state davvero tante.

Come le sfogliamo? Dando subito qualche esempio di soluzione ricevuta, o cavandocela direttamente con la spiegazione “redazionale”? Uhm…

Vabbè, cominciamo con qualche rimarchevole soluzione ricevuta:

Ad esempio, Alfredo Bertero è abbastanza conciso:

“Conviene certamente cambiare la porta: all’inizio quando scegliamo la porta di mezzo abbiamo una probabilita’ di un terzo. Le altre due probabilita’ su tre sono sulle due porte rimanenti. Questo scenario probabilistico non cambia quando il “padrone del gioco” apre una delle due porte rimanenti facendoci vedere che non e’ quella giusta. Anche se e’ controintuitivo adesso le due probabilita’ di prima sono concentrate sulla porta di destra:quindi cambiando passiamo da 1/3 a 2/3 di vincere.”

Ma anche Alfred Komin non usa molte più parole:

“…certo che avere un gatto specialista nel calcolo delle probabilità sarebbe l’ideale, ad ogni buon conto credo che cambiare idea sia la scelta migliore: le porte sono 3 (S=sinistra, C=centro, D=destra) e i casi lo stesso:
caso 1 – scelgo S che, a mia insaputa, si apre sull’inverno e il padrone del gioco apre C=inverno: cambiare porta fa trovare l’estate (D).
caso 2 – scelgo C che, a mia insaputa, si apre sull’inverno e il padrone del gioco apre S=inverno: cambiare porta fa trovare l’estate (D).
caso 3 – scelgo D che, a mia insaputa, si apre sull’estate e il padrone del gioco apre una delle altre due porte sull’inverno: cambiare porta fa trovare l’inverno. Ne consegue che cambiando si hanno due possibilità su tre di trovare l’estate contro una su tre delle condizioni iniziali del gioco (quindi cambiando porta si ha il doppio delle probabilità di trovare l’estate rispetto a mantenere la scelta iniziale).”

Viceversa, il solito Massimo Andreolli è un po’ più esaustivo:

La probabilità che l’estate sia dietro la porta scelta e’ 1/3 mentre che sia dietro l’altra porta e’ 2/3.
La soluzione e’ facile mentre la spiegazione e’ molto difficile. Io la spiego così:

I l problema coinvolge due diverse probabilità:
1) chiamiamo le porte a (sinistra), b (centrale), c (destra). Diciamo P(a), P(b), P(c) le probabilità di scegliere una porta.Poiche’sonotre<br>edugualicisiaspettaP(a)=P(b)=P(c)=1/3.
2) indichiamo E per estate, I per inverno. Le combinazioni possibili dietro le porte con una sola estate sono:

E I I
I E I
I I E
——
a b c

vediamo che dietro ogni porta c’e’ 1 possibilità su 3 di trovare l’estate. Indichiamo la probabilità di trovare l’estate dietro la porta “a” con P(E|a) e analogamente per P(E|b) e P(E|c). Anche qui ci si aspetta che ognuna sia uguale ad 1/3.
Ora mettiamo le tre porte con le varie combinazioni di E ed I in un’urna gigante, inseriamo una mano e peschiamo a caso. Supponiamo di pescare la E.
Qual è la probabilità P(a|E) che la E provenga dalla porta a (oppure b oppure c) ?
Seguiamo il percorso della mano: prima sceglie a caso tra le porte e la probabilità di scegliere “a” e’ P(a). Poi sceglie tra “E I I” e la probabilità di scegliere “E” dietro la porta “a” e’ P(E|a) quindi la probabilità congiunta e’ P(a)P(E|a) ma questa deve essere rapportata a tutte le possibilità di estrazione di “E” anche dalle altre porte:
P(a|E)=P(a)P(E|a)/[P(a)P(E|a)+P(b)P(E|b)+P(c)P(E|c)]. (questa formula dovrebbe essere il teorema di Bayes) ed analoghe formule per b e c.
Ma le P(a),P(b),P(c) sono ugluali e quindi si semplificano tra numeratore e denominatore, inoltre anche le P(E|a),P(E|b),P(E|c) sono uguali per cui:
P(a|E)=1/3 ed analogamente P(b|E)=1/3, P(c|E)=1/3
Cio’ significa che la probabilità di trovare E dietro una qualsiasi porta e’ 1/3.
Scegliamo una porta, senza aprirla, la probabilità di trovare E e’ 1/3 (come appena detto). La probabilità di trovare “E” dietro le altre due porte e’ P(b|E)+P(c|E)=1/3 + 1/3 = 2/3. Ora modifichiamo leggermente il gioco, invece di aprire una porta tra le due che non sono state scelte che nasconde una I chiediamo subito: preferisci una porta o le altre due?
Ovviamente le altre due insieme forniscono una probabilità di 2/3 che e’ maggiore e quindi e’ meglio cambiare la propria scelta.
Chi regola il gioco apre la porta con la I a noi rimane l’altra. La cosa importante e’ che se la porta con la I viene aperta prima della scelta non modifica le probabilità in gioco, la probabilità che sia una delle due porte sarà sempre 2/3.

E non si può dire che Massimo non abbia ben sviscerato la cosa. Comunque, la cosa migliore che ci ha mandato, congiuntamente alla soluzione, è quello che lui chiama “il paradosso dello sfigato”; non vogliamo essere egoisti e se ce lo richiederete, lo pubblicheremo su queste pagine.

C’è anche chi – saggiamente – si interroga sul meccanismo del gioco e sulla sua onestà… guardate cosa osserva il nostro Fabio Fabbri:

Il problema di questo mese sembra un “normale” problema di probabilità, ma secondo me nasconde un tranello… Potendo scegliere una delle tre porte, la probabilità di scegliere la porta giusta è 1/3, ma la probabilità di aver scelto la porta sbagliata è il doppio: 2/3. Quindi é probabile che la prima scelta sia sbagliata. Supponendo di aver scelto la porta centrale, e che questa sia la porta sbagliata, se il “padrone del gioco” ci mostra che la porta di sinistra è sbagliata, questo vuol dire che la porta di destra è giusta. Se invece al contrario ci avesse mostrato che la porta di destra è sbagliata, questo indica che la porta di sinistra è giusta. Quindi se abbiamo scelto la porta sbagliata il padrone ci mostrerà l’altra porta sbagliata e la porta restante è quella giusta. La probabilità di aver scelto la porta sbagliata e che ciò si verifichi è 2/3, quindi secondo la statistica conviene cambiare porta. Però… Chi ha obbligato il “padrone del gioco” a mostrarci che la porta di sinistra è sbagliata? Se al primo tentativo abbiamo scelto la porta sbagliata, non poteva mostrarci subito l’errore facendoci perdere? Può darsi che il padrone del gioco, vedendo che abbiamo scelto la porta giusta, ha “bluffato” mostrandoci una porta sbagliata nella speranza che avremo fatto questo ragionamento che ci avrebbe portato a cambiare idea…

Concludendo, se il padrone è obbligato a farci vedere, dopo la prima scelta, una porta sbagliata, abbiamo 2/3 di probabilità di trovare la porta giusta cambiando scelta. Altrimenti bisogna valutare le possibilità di bluff…

In realtà, la nostra idea non era subdola, e anche Fabio, come gli altri, ha giustamente concluso che cambiare porta è vantaggioso in ragione di 2/3 contro 1/3.

Attribuiamo il premio a Giovanni Castellari per due buone ragioni: la prima è che era ancora in credito con noi per una sua ottima soluzione precedente che non fu premiata sul filo di lana; la seconda – non meno valida – ragione, è che la sua è stata la prima tra le risposte esatte arrivate in redazione.

In realtà, questo indovinello presentatovi con l’aiuto del gatto Laser Virgilio Marone è noto in letteratura come il “problema di Monty Hall”, dal nome di una trasmissione televisiva in cui il gioco veniva effettivamente proposto ai concorrenti: dietro tre porte, nello studio televisivo, si celavano due capre e una automobile. Se il concorrente sceglieva la porta giusta, poteva vincere proprio l’automobile. Una volta effettuata la scelta, di solito – ma non sempre! – il conduttore apriva una porta mostrando una capra, e chiedeva al concorrente se volesse “cambiare porta”. Una analisi delle probabilità del gioco fatta da Marylin Vos Savant (celebre per essere la persona con il più alto Q.I. misurato) suscitò a suo tempo le ire di molte persone e di qualche matematico; ma Marylin aveva ragione, conviene cambiare porta. Se avete ancora dei dubbi, forse è bene ricordare che è certo vero che la porta inizialmente scelta ha il 33% di probabilità d’essere giusta, ma è anche vero che probabilità totale deve sempre dare somma 1. Difatti, l’apertura della potrta “sbagliata” causa l’innalzarsi della probabilità positiiva della porta residua fino al 66%. E’ possibile che la cosa risulti più facile da capire se provate a immaginare che quando il mossiere apre una delle due porte non scelte, non stia “aprendo una porta”, ma piuttosto stia “aprendo tutte le porte rimaste tranne una”. Finchè le porte sono tre, le due espressioni hanno lo stesso risultato, ma se il totale delle porte fosse diverso? Immaginate mille porte, e sceglietene una. La porta scelta inizialmente ha probabilità 1/1000 di essere giusta; il conduttore apre la bellezza di 998 porte, lasciandone chiusa solo un’altra oltre a quella da voi scelta. Offre la possibilità di cambiare: siate onesti, non viene una certa voglia “istintiva” di fare cambio, in questo caso? Se è questo che vi succede, significa che il vostro istinto si trova più ad agio con le probabilità di quanto faccia la vostra parte razionale…

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